Mathc initiation/a512

Un livre de Wikilivres.

.

.

L'étude de ce chapitre peut ce faire à l'aide de cette [Playlist].

.

La transformée de Laplace va transformer les fonctions trigonométriques, exponentielles, ... en fonctions algébriques (+,-,*).

La transformée de Laplace ne fonctionne que sur les fonctions causales.

Une fonction causale est une fonction qui ne prend sa valeur que quand t est supérieur à zéro. La fonction est nulle entre moins l'infini et zéro.

Ceci se matérialise sur l'intégrale dont les bornes sont entre zéro et l'infini positif.

La transformée de Laplace de F(t)

             / +oo
            |
  L{F(t)} = |    exp(-s t) F(t) dt = f(s)
            |
           /  0

Si G(t) est une fonction (sin, cos, exp, t^n, ...) alors :

F(t) = G(t) * U(t) est une fonction causale, ou U(t) est la fonction Heaviside.

  U(t) = 0 si t <  0
  U(t) = 1 si t >= 0
  

Pour simplifier la lecture de ce texte j'ai remplacé systématiquement G(t) * U(t) par F(t).

La transformée de Laplace est une application linéaire :

    L{a F(t) + b G(t)}   = a L{F(t)} + b L{G(t)}

.

Se familiariser avec la transformée de Laplace :


* la Transformée de Laplace : Première approche[modifier le wikicode]


* la Transformée de Laplace : Deuxième approche[modifier le wikicode]

.


* La transformée de Laplace d'une intégrale[modifier le wikicode]


* La transformée de Laplace de la dérivée[modifier le wikicode]


* La transformée de Laplace de la dérivée seconde[modifier le wikicode]

.


* la Transformée de Laplace : Changement d'échelle[modifier le wikicode]


* la Transformée de Laplace : Translation de la variable s[modifier le wikicode]


* la Transformée de Laplace : Translation de la variable t[modifier le wikicode]

.

Se familiariser avec la transformée Inverse de Laplace :


* la Transformée Inverse de Laplace : Première approche[modifier le wikicode]


* la Transformée Inverse de Laplace : Deuxième approche[modifier le wikicode]

.


* La transformée Inverse de Laplace de : (1/s)f(s)[modifier le wikicode]


* La transformée Inverse de Laplace de : (s)f(s)[modifier le wikicode]

.


* la Transformée Inverse de Laplace : Changement d'échelle[modifier le wikicode]


* la Transformée Inverse de Laplace : Translation de la variable s[modifier le wikicode]


* la Transformée Inverse de Laplace : Translation de la variable t[modifier le wikicode]

.

Quelques applications :


* Résoudre l'équation Y'+Y=1 avec Y(0) = 0[modifier le wikicode]